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Pergunta

Ouvi dizer que o Teorema de Fermat é muito simples mas que demorou muitos anos a ser demonstrado e que um matemático esteve 15 anos fechado no seu sótão a demonstrá-lo e que há poucos anos o fez. Podem dizer-me o enunciado do Teorema de Fermat? E talvez um pouco da sua história.

Resposta

O famoso teorema de Fermat diz que é impossível separar uma potência cúbica, quártica, etc., de um número inteiro, na soma de duas potências cúbicas, quárticas, etc., de um inteiro. Por outras palavras, o teorema de Fermat diz que a equação x^n+y^n = z^n não tem soluções inteiras para n maior ou igual que 3.
Para n=2 o teorema é falso, por exemplo, 3^2+4^2=5^2. Este tipo de relação entre quadrados de números já era conhecida na Suméria, 1000 anos antes de Cristo, e os números inteiros que obedeciam a esta relações são conhecidos por números pitagóricos.

O facto famoso sobre o Teorema de Fermat, é de que Fermat escreveu na margem de um livro que tinha encontrado uma “demonstração maravilhosa” do teorema, mas que não a transcrevia porque não tinha espaço para isso.

Esta afirmação, a ser verdadeira, supõe que existe uma demonstração elementar, dependendo apenas de factos elementares acerca dos números inteiros. Vários matemáticos famosos fizeram várias tentativas de mostrar o Teorema de Fermat, entre eles, Euler, Dirichlet, Legendre, Lamé e Lebesgue. No final do século XIX sabia-se que o Teorema de Fermat era verdadeiro para n=3,4,5,6,7.

Acontece que não se conseguiram encontrar demonstrações gerais do teorema, apesar da sua aparente simplicidade. Muita gente foi atraída pelo enunciado do teorema e muita gente dedicou muitos anos da sua vida a tentar demonstrá-lo.

A demonstração que hoje se conhece deve-se a Andrew Wiles de Princeton. Os resultados finais, depois de corrigidas algumas correcções, aparecem com os nomes de Wiles e Richard Taylor. De facto, Wiles demorou cerca de 15 anos a demonstrar o teorema de Fermat, e trabalhava muito em casa, por acaso num sótão, como é normal em todos os trabalhos que requerem concentração. Os primeiros resultados anunciados por Wiles estavam incompletos ou continham algumas incorrecções, que foram detectadas por muitos colegas. A demonstração só apareceu na sua forma final, com todos os seus detalhes cerca de dois anos depois dos primeiros anúncios.

Tecnicamente a demonstração de Wiles recorre à teoria de das funções modulares da geometria algébrica não sendo considerada uma demonstração elementar.
Em linhas gerais, o que Wilis demonstra é a conjectura de Shimura-Taniyama
sobre as propriedades de simetria no plano complexo da função zeta de Riemann. Com este resultado e um teorema de Ribet, que afirmava que a conjectura de Shimura-Taniyama implicava o teorema de Fermat, Wilis é assim o autor do teorema de Fermat.

Como se vê o resultado dos 15 anos de trabalho de Wilis, não é fruto de um trabalho isolado, mas de muitos matemáticos que fizeram contribuições importantes e que mais tarde vieram a ser cruciais para o resultado final de Wilis.

É de notar que a história deste sucesso está recheada muitos insucessos, muita gente que arriscou uma carreira para demonstrar o teorema de Fermat e alguns suicídios (Taniyama suicidou-se em 1958 com 31 anos, ao que parace devido ao insucesso em demonstrar a sua conjectura).

Embora o Teorema de Fermat esteja demonstrado por métodos não elementares, na linha de pensamento de alguns matemáticos como Paul Erdös, continua a faltar uma demonstração dita elementar, para inscrever no “O LIVRO”. (O LIVRO, segundo Paul Erdös, é o livro onde Deus inscreve as demonstrações matemáticas perfeitas).